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核心概念：同底三角形的面積比

喺 DSE Core 幾何（以至 Coordinate Geometry / 2D Space）入面，有一條極常用、但好多人會混淆嘅秘技：

設 $\triangle ABC$ 同 $\triangle ABD$ 有共同底邊 $AB$。 若連接兩頂點的直線 $CD$（或其延長線）同底邊 $AB$ 相交於點 $P$，則：

意思即係：同底三角形的面積比 = 兩頂點到交點 $P$ 的線段比例。

圖中 $C$ 在底邊 $AB$ 之上、$D$ 在其下，虛線 $h_1$ 同 $h_2$ 係由兩頂點垂直拉落 $AB$ 的高，直角位已標示。直線 $CD$ 穿過 $AB$ 於 $P$。

證明（用相似三角形）

第一步 - 用高表示面積比。 由 $C$ 同 $D$ 各自向底邊 $AB$（或其延長線）作垂足，設兩條高分別為 $h_1$ 同 $h_2$。因為兩個三角形同底 $AB$：

第二步 - 砌出一對相似三角形。 兩條高同直線 $CDP$ 會構成兩個直角三角形（記為 $\triangle CP\text{足}$ 同 $\triangle DP\text{足}$）。佢哋有：

• 一對對頂角相等（$CD$ 同 $AB$ 相交於 $P$），
• 各自都有一個直角 $\angle 90^\circ$。

由 AA 相似：

第三步 - 由相似得線段比。 相似三角形對應邊成比例，高對應斜邊：

結論。 合併第一同第三步：

DSE 應用場景

• MC 秒殺：題目俾咗 $C$、$D$ 座標或比例 $CP:PD$，要你比兩邊面積比 - 直接套定理，唔使逐個計底同高。
• Coordinate Geometry / Vector (M2)：常用嚟將「面積比」轉成「共線線段比」，再用 Section Formula（分點公式）求座標或位置向量。
• 記法：底相同 ⟹ 面積比只睇高；高同 $CP, PD$ 又成比例 ⟹ 面積比 $=CP:PD$。